Axiom

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Axiom (v. griech.: tà to~n progónon axiómata = als wahr angenommener Grundsatz) bezeichnet man eine Aussage, die grundlegend ist und darum nicht innerhalb ihres Systems begründet werden kann bzw. muss. Sie dient als Grundlage für eine deduktive Theorie (vgl. auch Prinzip) und kann darum nicht selber durch diese Theorie begründet werden. Wenn eine Theorie aus begründeten Sätzen bestehen soll, so muss es notwendigerweise solche Axiome geben, denn sonst würde die Argumentation nie enden: Jeder Satz, den ich zur Begründung anführte, bedürfte wieder einer Begründung usw. Daher ist ein Axiom etwas ganz anderes als eine Vermutung.

Ausnahme: der Logizismus, vertreten von Gottlob Frege, der immerhin die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte. (Aber dann stellt sich - nicht für ihn, aber für uns - die Frage nach der Begründung der Logik).

Mehrere Axiome können zu einem Axiomensystem gehören, wenn sie in keinem Widerspruch zueinander stehen. So definieren z.B. die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom die reellen Zahlen: Alle wahren Aussagen über reelle Zahlen lassen sich aus diesen Axiomen ableiten.

Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Gültigkeit haben soll, so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie). Sie müssen "selbstverständlich" und "offenbar" sein. Mit Gödel u.a.: Axiomata in einer logischen Sprache können ca. außerhalb ihrer selbst, in einer "Metasprache" begründet werden. Die Axiome dieser Sprache also ca. in einer "Meta-meta-Sprache", und so fort. Die allerletzte Sprache (das 'allererste Kettenglied') ist auch für Logiker dann die sog. Umgangssprache.